做一个简单的不动点迭代

不动点法用于求解一元方程。它的基本原理是这样的：

例如我有一个方程 $f(x)=0$ ，那么将这个方程等价变形为 $x=g(x)$ 。

其实在这里，可以画出两个函数的图像，图像的交点就是答案。

说好的迭代呢………………

任意取一个 x
代入 $g(x)$ 中
求得一个 $y$
令 $x=y$ ，转第二步。

没错就是这么简单。

代码

拿 Matlab 写代码好了……Python 的 plotlib 有时候真心 bug，图片死都出不来。怪我喽？

我们要求方程 $f(x)=x^3+10x-20$ 的唯一实根。

clear all;
close all;
clc;

d = 1e-6;

x=[0:0.1:3];
y=(20-x.^3)/10;
% y=nthroot(20-10*x,3);
% y=-10./x+20./x./x;

plot(x,y)
hold on
plot(x,x)
hold on

a = 2;
b = (20-a.^3)/10;
% b = (20-10*a)^(1/3)
% b = -10/a+20/a/a;
while abs(a - b) > d
    ta=a;
    a = b;
    b = (20-a.^3)/10
    % b = nthroot(20-10*a,3)
    % b=-10/a+20/a/a
    plot([ta,a,a],[a,a,b])
%     plot(a,b,'x')
end
title('点变化轨迹')
disp('计算结果：')
fprintf('%6f\n',b)


% w = [1 0 10 -20];
% x = [-10:0.01:10];
% y = polyval(w,x);
% plot(x,y)

实际上，对于给定的方程，第一步的 “转化” 有很多种形式，可以是 $x=\frac{20-x^3}{10}$ ，可以是 $x=(20-10x)^\frac{1}{3}$ ，也可以是 $x=\frac{-10}{x}+\frac{20}{x^2}$ 。真的不是因为爱才选了第一种形式…… 而是因为，选择其他两种形式非常难得到结果。把图画出来，看一下点的轨迹就知道了（不收敛 / 很难收敛）。